M - Kombinatorika 02 (teorie)

I.) Pravidlo kombinatorického součinu

Počet uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybral n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby je roven: n = n1 . n2 … nk

II.) Variace

K-členná variace z „n“ prvků (variace z n prvků k-té třídy) je uspořádaná k-tice, sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nanejvýš jednou.

V (k, n) … počet všech k-členných variací z „n“ prvků

k < nebo = n

V (k, n) = n . (n – 1) . (n – 2) … (n – k +1)

III.) Permutace

Permutace je zvláštní případ variace, kde k = n. To znamená, že ze zadaných prvků postupně vybereme všechny. Každá permutace tedy odpovídá nějakému pořadí zadaných prvků: každý prvek se v pořadí musí objevit, ale žádný tam nemůže být dvakrát.

Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků.

Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou.

Počet P(n) všech permutací z n prvků je: P(n) = n . (n − 1) . (n − 2) … 3 . 2 . 1

IV.) Faktoriál

Pro každé přirozené číslo n definujeme: n! = 1 . 2 . 3 … (n − 1) . n

symbol n! čteme "n faktoriál"

Počet P(n) všech permutací z n prvků můžeme pomocí faktoriálu zapsat takto: P(n) = n!

0! = 1

(n + 1)! = (n +1) . n!

V.) Vztahy mezi vedlejšími faktoriály

n! / (n + 1)!=n! /(n+1) . n!=1 / (n+1)

D = N₀

(n + 1)! - n!= (n + 1) . n! - n! = n! . (n + 1 – 1) = n! . n

D = N₀

VI.) Kombinace

K-členná kombinace z „n“ prvků (kombinace z n prvků k-té třídy) je k-prvková podmnožina

n-prvkové množiny (nezávisí na pořadí).

K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

K (k, n) = V (k, n) / P (k) = n . (n – 1) … (n – k + 1) / k!

VII.) Kombinační číslo

Kombinační číslo je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.

(n nad k) … kombinační číslo

(n nad k) = n! / k! . (n – k)!

K (k, n) = (n nad k)

(n nad n) = 1, n náleží N0

VIII.) Doplňková kombinace

(n nad k) = (n nad n – k); k je rovno nebo menší než n

(n nad k) + (n nad k + 1) = (n + 1 nad k + 1)

M - Kombinatorika 01

Kombinatorika

Př. 1) AB … 4 způsoby

BC … 3 způsoby

Kolika způsoby lze vybrat cestu z A do C přes B?

4 . 3 = 12 … 12 způsobů

CD … 2 způsoby

4 . 3 . 2 = 24 způsobů z A do D

I.) Pravidlo kombinatorického součinu

Počet uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybral n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby je roven: n = n1 . n2 … nk

Př. 2) Kolik je trojciferných přirozených čísel?

a) v nichž se cifry neopakují?

b) v nichž se cifry opakují?

c) kolik z b) je dělitelných pěti?

a) 9 . 9 . 8 = 648

b) 9 . 10 . 10 = 900

c) 9 . 10 . 2 = 180

Př. 3) Kolika způsoby se může stát, že z botníku s 5 páry bot vyberu nesprávný pár?

5 . 4 = 20

5 … pravých, 4 … k nim špatné páry

Př. 4) z A do B … 4 cesty

z B do C … 3 cesty

a) z A do C?

b) z A do C a zpět?

c) z A do C a zpět tak, že žádná z těchto 7 cest nebude užita dvakrát

d) z A do C tak, že se vracíme stejně

e) z A do C a zpět tak, aby právě 1 ze 7 cest byla použita dvakrát

a) 4 . 3 = 12

b) 4 . 3 . 3 . 4 = 144

c) nc = 4 . 3 . 2 . 3 = 72

d) nd = 4 . 3 . 1 . 1 = 12

e) ne = 4 . 3 . 1 . 3 = 36 … stejná cesta z C do B

ne = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 … stejná cesta z B do A

36 + 24 = 60 … dohromady 60 cest

II.) Variace

K-členná variace z „n“ prvků (variace z n prvků k-té třídy) je uspořádaná k-tice, sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nanejvýš jednou.

V (k, n) … počet všech k-členných variací z „n“ prvků

k < nebo = n

V (k, n) = n . (n – 1) . (n – 2) … (n – k +1)

Př. 5) Kolik různých trikolor lze vytvořit z těchto 4 barev: č, m , b , z?

a) variace 5 barev

b) variace 7 barev

V (3, 4) … variace třetí třídy ze čtyř prvků

V (3, 4) = 4 . 3 . 2 = 24

a) V (3, 5) = 5 . 4 . 3 = 60

b) V(3, 7) = 7 . 6 . 5 = 210

Př. 6) Kolika způsoby lze na šachovnici vybrat dvě políčka různé barvy tak, aby neležela v téže řadě ani sloupci? (8 . 8 = 64 políček)

32 . 24 = 768

Př. 7) Ke hradu vedou z místa výletu dvě různé turistické trasy a silnice po ní je možné jet autobusem, nebo jít pěšky. Určete počet způsobů, kterými je možné dostat se:

a) na hrad a zpět

b) na hrad a zpět tak, aby zpáteční cesta byla jiná

c) na hrad a zpět tak, aby se nejelo autobusem

d) aby se aspoň jednou jelo autobusem

e) tam autobusem a zpátky pěšky

f) tam pěšky a zpátky autobusem

g) tam autobusem, zpátky autobusem

a) 4 . 4 = 16

b) 4 . 3 = 12

c) 3 . 3 = 9

d) 3 + 3 + 1 = 7 (e + f + g) nebo (a – c) = 16 – 9 = 7

e) 1 . 3 = 3

f) 3 . 1 = 3

g) 1

Př. 8) Kolika způsoby lze sestavit šestihodinový rozvrh na jeden den pro třídu, v niž se vyučuje dvanácti předmětům (každý předmět nejvýš jedna hodina).

a) tv na 6. hodinu

b) tv na 1. hodinu a čj na 2. hodinu

c) není ani tv ani čj

a) V (5, 11) = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 = 55 440

b) V (4, 10) = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040

c) V (6, 10) = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 151 200

Př. 9) Kolik trikolor lze vytvořit ze tří barev?

V (3, 3 ) = 6

Př. 10) Kolika způsoby lze polici v knihovně umístit do řady šest knih?

V (6, 6) = 6 . 5. . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Př. 11) Kolika způsoby může do cíle doběhnout pět závodníků?

V (5, 5) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

III.) Permutace

Permutace je zvláštní případ variace, kde k = n. To znamená, že ze zadaných prvků postupně vybereme všechny. Každá permutace tedy odpovídá nějakému pořadí zadaných prvků: každý prvek se v pořadí musí objevit, ale žádný tam nemůže být dvakrát.

Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků.

Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou.

Počet P(n) všech permutací z n prvků je: P(n) = n . (n − 1) . (n − 2) … 3 . 2 . 1

IV.) Faktoriál

Pro každé přirozené číslo n definujeme: n! = 1 . 2 . 3 … (n − 1) . n

symbol n! čteme "n faktoriál"

Počet P(n) všech permutací z n prvků můžeme pomocí faktoriálu zapsat takto: P(n) = n!

0! = 1

(n + 1)! = (n +1) . n!

Př. 12) 1! = 1

2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

4! = 4 . 3!

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

5! = 5 . 4! = 5 . 4 . 3!

Př. 13) 6! / 3! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 / 3 . 2 . 1 = 120

7! / 5! = 7 . 6 = 42

Př. 14) Ve výboru klubu je 7 členů, kolika způsoby lze vybrat předsedu, místopředsedu, tajemníka, pokladníka?

V (4,7) = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 způsobů

Kolika způsoby lze vybrat tak, aby:

a) naše Káča byla předsedkyně

V (3, 6) = 6 . 5 . 4 = 120 způsobů

b) Bíďa nebyl pokladníkem – (rozklad)

Bíďa je pokladníkem V(3,6) = 120 způsobů

840 – 120 = 720 způsobů

Př. 15) Rozsazení 10 lidí u stolu.

P (10, 10)

10! = 3 628 800 možností

V.) Vztahy mezi vedlejšími faktoriály

n! / (n + 1)!=n! /(n+1) . n!=1 / (n+1)

D = N₀

(n + 1)! - n!= (n + 1) . n! - n! = n! . (n + 1 – 1) = n! . n

D = N₀

Př. 16) 5! / 3! = 20

100! / 99! = 100

10! + 9! = 10 . 9! + 9! = 9! . (10 + 1) = 11 . 9!

Př. 17) Dvoukolového turnaje v pingpongu se účastnilo 20 hráčů, kolik bylo sehráno utkání? (každý s každým)

V (2, 20) = 380 utkání

b) Kolik účastníků měl turnaj, bylo-li sehráno 132 utkání?

V (2 , n) = n . (n – 1) = 132

D = 529

x = 12,-11

n = 12

Př. 18) Maturitní zkoušku bude konat ve stejný den 6 žáků:

a) určete počet všech možných pořadí?

b) všech pořadí, v nichž vystupuje E po F

c) všech pořadí, kdy Emilka jde ihned po Fanoušovi

d) kdy jdou za sebou

a) P (6) = 6! = 720

b) P (6) / 2 = 360 možností

c) 5! = 120 možností

d) 2 . 5! = 240 možností

Př. 19) Jsou dány čtyři různé tóny, kolik

a) znělek ze 3 různých tónů

b) akordů ze 3 různých tónů lze vytvořit

a) V(3,4)=24

b) K (3, 4)=24 / 6=V (3, 4) / 3! = 4

VI.) Kombinace

K-členná kombinace z „n“ prvků (kombinace z n prvků k-té třídy) je k-prvková podmnožina

n-prvkové množiny (nezávisí na pořadí).

K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

K (k, n) = V (k, n) / P (k) = n . (n – 1) … (n – k + 1) / k!

VII.) Kombinační číslo

Kombinační číslo je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.

(n nad k) … kombinační číslo

(n nad k) = n! / k! . (n – k)!

K (k, n) = (n nad k)

(n nad n) = 1, n náleží N0

Př. 20) Pět plechovek barev, kolika způsoby

a) lze vytvořit trikoloru

b) kolik odstínů barev můžu vytvořit slitím tří plechovek

a) V (3, 5) = 60

b) K (3, 5) = (5 nad 3) = 5! / 3! . 2! = 20 . 3! / 3! . 2 = 10 odstínů

Př. 21) Ve třídě je 7 žáků, kolika způsoby lze vybrat ke zkoušení 2 žáky?

V (2, 7) = 42 způsoby

K (2, 7) = (7 nad 2) = 7! / 5! . 2! = 7 . 6 . 5! /5! . 2 = 21

Př. 22) 10! + 9! = 10 . 9! + 9! = 9! (10 + 1) = 11 . 9!

Př. 23) (n + 2)! / (n – 1)! = (n + 2) (n + 1) . n . (n – 1)! / (n – 1)! = (n + 2) (n + 1) . n

Př. 24) V rovině leží 10 bodů, z nich žádné 3 neleží v přímce. Určete počet všech trojúhelníků, které mají v daných bodech vrcholy.

nezávisí na pořadí → kombinace

K (3, 10) = (10 nad 3) = 10! / 3! . 7! = 120

Př. 25) (4 nad 2) = 4 . 3 . 2! / 2! . 2! = 6

(4 nad 3) = 4 . 3! / 3! . 1! = 4

(4 nad 4) = 4! / 4! = 0! = 1

Př. 26) Na tělocviku je devět členů. Kolika způsoby lze nastoupit v řad?

a) Kolik let bychom museli chodit do školy, abychom se vystřídali?

P (9, 9) = 362 880 způsobů

a) 40 týdnů → 40 nástupů, 362 880 / 40 = 9072

Př. 27) Kolika způsoby lze rozpojit vlak o třinácti vagónech na tři části?

2 zlomové body, 12 spojů

(12 nad 2) = 12! / 2! . 10! = 66

Př. 28) Kolika různými způsoby lze vyplnit tiket sportky?

6 čísel z 49

K (6, 49) = (49 nad 6) = 49! / 6! . 43! = 13 983 816

Př. 29) Hokejový trenér má k dispozici 2 brankáře, 5 obránců, 10 útočníků. Kolika různými způsoby lze sestavit mužstvo? Hokejový tým má 1 brankáře, 2 obránce a 3 útočníky.

2 B: K (1, 2) = (2 nad 1) = 2

5 O: K (2, 5) = (5 nad 2)

10 Ú: K (3, 10) = (10 nad 3)

pravidlo kombinatorického součinu:

(2 nad 1) . (5 nad 2) . (10 nad 3) = 2400 způsobů

VIII.) Doplňková kombinace

(n nad k) = (n nad n – k); k je rovno nebo menší než n

(n nad k) + (n nad k + 1) = (n + 1 nad k + 1)

Př. 30) V užším výběru na zájezdu je 5 studentů. Kolika způsoby je možné vybrat.

a) 3 studenty

b) 2 studenty

c) 3 tak, aby Jaroušek určitě jel

d) 3 tak, aby Jarda určitě nejel

a) K (3, 5) = (5 nad 3) = 5! / 3! . 2! = 10

b) K (2, 5) = (5 nad 2) = 10

c) K (2, 4) = (4 nad 2) = 4! / 2! . 2! = 12 / 2 = 6

d) K (3, 4) = (4 nad 3) = 4 . 3! / 3! . 1! = 4

Př. 31) (5 nad 3) = (5 nad 2)

Př. 32) (4 nad 2) + (4 nad 3) = (5 nad 3)

M - Nekonečná geometrická řada 02

M - Nekonečná geometrická řada 01

M - Limity posloupnosti

M - Posloupnost 04 Dú: (Aritmetická, geometrická)

M - Posloupnost 03 (Aritmetická, geometrická)

M - Posloupnosti 02 (Aritmetická posloupnost)

M - Příprava na čtvrtletku, zadání a řešení

2.2

Napište rovnici paraboly s vrcholem v počátku soustavy, procházející bodem A(2,-4), jejíž osa

a) splývá se souřadnicovou osou x

b) splývá se souřadnicovou osou y

v obou případech určete i souřadnice ohniska a rovnici řídící přímky

a) y2 = 8x, F(2,0) d: x= -2
b) x2 = -y, F(0, -1/4) d: y=1/4

2.3

Napište rovnici paraboly s vrcholem V a ohniskem F:

a) V(2,3) F(4,3)

b) V(3,-2) F(3,-1)

c) V(-2,3) F(-3,3)

d) V(-1,-1) F(-1,-4)

a) (y-3)2=8(x-2), o: y=3, prochází např. bodem (4,-1)
b) (x-3)2=4(y+2), o: x=3, prochází např. bodem (1,-1)
c) (y-3)2 = -4 (x+2), o: y=3, prochází např. bodem (-3,1)
d) (x+1)2=-12(y+1), o: x=-1, prochází např. bodem (5,-4)

2.4

Napište rovnici paraboly, která má vrchol V(3,-7), prochází bodem M(4,-5) a jejíž osa je rovnoběžná

a) se souřadnicovou osou x

b) se souřadnicovou osou y

v obou případech určete souřadnice ohniska a rovnici řídící přímky

a) (y+7)2=4(x-3), F(4,-7), d: x=2
b) (x-3)2=1/2(y+7), F(3, -6krát7/8) d: 8y+57=0

2.5

Určete osu, vrchol, parametr a ohnisko paraboly určené rovnicí:

a) y2 = 8x

b) y2 = -4x

c) x2=16y

d) x2 = -6y

e) (x-1)2 = 12(y+3)

f) (y+2)2 = -16(x-2)

g) (x-3)2 = -8(y-1)

h) (y+1)2 = 4(x+3)

a) V(0,0), p=4, F(2,0) osa: y=0 (orientace x+)
b) V(0,0) p=2 F(-1,0) osa: y=0 (orientace x-)
c) V(0,0) p=8, F(0,4), osa: x=0 (orientace y+)
d) V(0,0) p=3 F(0,-3/2) osa: x=0 (orientace y-)
e) V(1,-3) p=6 F(1,0) osa: x=1 (orientace y+)
f) V(2,-2) p=8 F(-2,-2) osa: y= -2 (orientace x-)
g) V(3,1) p=4, F(3,-1) osa: x=3 (orientace y-)
h) V (-3,-1) p=2 F(-2,-1) osa: y=-1 (orientace x+)

2.6

Určete vrchol, osu, parametr a ohnisko paraboly určené rovnicí:

a) x2+2x-2y+3=0

b) x2+6x+3y+15=0

c) y2-4x-4y+16=0

d) y2+5x+2y+6=0

e) 2y2-11x+12y+73=0

f) x2+2y-3=0

a) V(-1,1) o je rovnoběžné s y, (orientace y+), p=1, F (-1,3/2)
b) V(-3,-2) o rovnob. s y (orientace y-) p=3/2, F(-3, -11/4)
c) V(3,2) o rovnob. s x, (orientace x+), p=2, F(4,2)
d) V(-1,-1) o rovnoběžná s x, (orientace x-), p=5/2, F (-9/4, -1)
e) V(5,-3) o rovnoběžná s x, (orientace x+), p=11/4, F(51/8, -3)
f) V(0,3/2) o rovnoběžný s y, (orientace y-) p=1 F (0,1)

3.3

Napište rovnici elipsy jeli dáno:

a) S(0,3) vrcholy (3,3) (0,-2)

b) F(5,5) vrcholy (8,5) (-2,5)

c) vedlejší vrcholy C(3,5) D(3,-1) e=4

a) x2 / 9 + (y-3)2 / 25=1
b) (x-3)2 / 25 + (y-5)2 / 21 = 1
c) (x-3)2 / 25 + (y-2)2 / 9 = 1

3.4

Určete střed, směr hlavní osy, délky poloos, excentricitu, souřadnice vrcholů a ohnisek dané rovnicí:

a) (x-1)2 / 169 + (y+3)2 /25 = 1

b) 25(x+2)2 + 9y2 = 225

c) 16x2+25y2-64x+150y-111=0

d) 4x2+y2+24x-10y+57=0

a) S(1,-3) o1 rovnoběžná s x. a=13, b =5, e=12, A(-12,-3), B(14,-3) C(1,2) D(1,-8) F(-11,-3) G(13,-3)
b) S(-2,0) o1 rovnoběžná s y, a=5, b=3, e=4, A(-2,5), B(-2,-5) C(-5,0) D(1,0) F(-2,4) G(-2,-4)
c) S(2,-3) o1 rovnoběžná s x, a=5, b=4, e=3, A(-3,-3) B(7,-3) C(2,1) D(2,-7) F(-1,-3) G(5,-3)
d) S(-3,5) o1 rovnoběžná s y, a=2, b=1, e= odmocnina z 3, A(-3,7) B(-3,3) C(-4,5) D(-2,5) F(-3,5-odmocnina ze 3) G(-3, 5+ odmocnina ze 3)

4.1

Napište rovnici hyperboly, jejíž hlavní osa je rovnoběžná se souřadnicovou osou x, jeli dáno:

a) S(0,0) a=3 b=2

b) S(-1,2) a=1 b=3

c) S(3,0) b=3 e=5

d) A(1,-3) 2a=8 e=5

e) S(0,0) a=3 X(5,16/3)

určete vrcholy, asymptoty a načrtněte hyperbolu

a) x2 / 9 - y2 / 4 = 1, A(-3,0) B(3,0) směrnice asymptot k=+- 2/3
b) (x+1)2 /1 - (y-2)2 / 9 =1, A(-2,2) B(0,2) k = +-3
c) (x-3)2 / 16 - y2 / 9 = 1. A(-1,0) B(7,0) k = +- 3/4
d) (x-5)2 / 16 - (y+3)2 / 9 = 1, S(5,-3) B(9, -3) k = +- 3/4 nebo (x+3)2 / 16 - (y+3)2 /9 = 1 S(-3,-3) B(-7,-3) k = +- 3/4
e) x2 / 9 - y2 / 16 = 1 A(-3,0) B(3,0) k = +- 4/3

4.3

Napiště rovnici hyperboly jeli dáno:

a) A(-3,-2) B(7,-2) b=3

b) A(2,3) B(2,-5) F(2,4)

c) F(-6,0) G(4,0) 2a=6

a) (x-2)2 / 25 - (x+2)2 / 9 = 1
b) (y+1)2 /16 - (x-2)2 /9 = 1
c) (x+1)2 / 9 - y2/16 = 1

4.4

Určete střed, směr hlavní osy, délky poloos, excentricitu, souřadnice vrcholů a ohnisek a směrnice asymptot hyperboly dané rovnicí:

a) 9x2-16y2=144

b) (y-5)2 /25 – (x+3)2 /11 = 1

c) 9x2-16y2+36x+32y+164=0

d) 5x2 – 4y2 -20x-16y-16=0

a) S(0,0), o1 rovnoběžná s x, a = 4, b = 3, e=5, A(-4,0) B(4,0) F(-5,0) G(5,0) k=+-3/4
b) s(-3,5) o1 rovnoběžná s y, a=5, b = odmocnina z 11, e=6, a(-3,10) B (-3,0) F(-3,11) G(-3,-1) k = +- 5 / odmocnina z 11
c) S(-2,1) o1 rovnoběžná s y, a=3, b=4, e=5, A(-2,4) B(-2,-2) F(-2,6) G(-2,-4) k=+- 3 /4
d) S(2,-2) o1 rovnoběžná s x, a=2, b = odmocnina z 5, e=3. A(0,-2) B(4,-2) F(-1,-2) G(5,-2) k= +- 1/2 krát odmocnina z 5

5.1

Určete vzájemnou polohu křivky k a daných přímek, v případě prázdného průniku určete souřadnice spol. bodů:

a) k: x2+y2=25

p: 3x-y-5=0

q: 4x-3y+25=0

r: x-y+8=0

b) k: y2=4x

p: x-2y+3=0

q: x-2y+4=0

r: x-y+3=0

s: y-2=0

c) k: 9x2+25y2=225

p: 4x+5y-26=0

q: 4x+5y-25=0

r: 4x+5y-24=0

d) k: 4x2-y2=64

p: 10x-3y-32=0

q: 2x+3y-8=0

r: 2x-y+4=0

s: 3x-y+2=0

u: 2x-y=0

a) p je sečna, P1(0,-5) P2(3,4) q je tečna, T (-4,3) r je vnější přímka
b) p je sečna, P1(9,6) P2 (1,2) q je tečna, T (4,4) r je vnější přimka, s je sečna rovnoběžná s osou P(1,2)
c) p je vnější přímka, q je tečna, T (4, 9/5), r je sečna, P1(3,12/5) P2 (117/25, 132/125)
d) p je tečna, T(5,6) q je sečna, P1 (4,0) P2(-5,6), r je sečna rovnoběžná s asymptotou P(-5,-6), s je vnější přímka, u je asymptota
 

M - Hyperbola a přímka

M - Hyperbola přehled

Hyperbola

= množina všech bodů v rovině, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou daných různých bodů E a F je rovna kladné konstantě 2a

(= množina všech bodů, pro které ||XE| - |XF|| se rovná danému kladnému číslu, které je menší než |EF| se nazývá hyperbola)

||XE| - |XF|| = 2a… symbolické vyjádření def. hyperboly

E, F jsou ohniska hyperboly

pozn.: přímky, kterým se hyperbola blíží, ale nikdy se jich nedotkne se nazývají asymptoty, ty prochází průniky kolmic vedlejších a hlavních vrcholů

konstrukce hyperboly: bodová konstrukce

Hyperbola se středem v bodě S [0, 0]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na hyperbole (v prvním kvadrantu)

S [0, 0] … střed hyperboly na obrázku nahoře v souřadnicích nula, nula

… rovnice hyperboly, když je střed v bodě nula, nula

x² / a² - y² / b² = 1 … rovnice hyperboly, když je střed v bodě nula, nula

Význačný trojúhelník

e ² = a² + b² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice hyperboly

a = |SA| = |SB| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu

b = |SC| = |SD| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |ES| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

e = |SP| … kdy P je pomocný bod, tvoří průnik kolmic na hlavní a vedlejší vrcholy

Hyperbola se středem v bodě S [m, n]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na hyperbole (v prvním kvadrantu)

S [m, n] … střed hyperboly na obrázku nahoře v souřadnicích m, n

(x – m)² / a² - (y – n)² / b² = 1 … rovnice hyperboly, když je střed v bodě m, n

px ² + qy ² + 2rx + 2sy + t = 0 … obecná rovnice hyperboly

Význačný trojúhelník

e ² = a² + b² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice hyperboly

a = |SA| = |SB| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu

b = |SC| = |SD| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |ES| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

e = |SP| … kdy P je pomocný bod, tvoří průnik kolmic na hlavní a vedlejší vrcholy

Obrácená hyperbola

o (o₁) || y … hlavní osa je rovnoběžná s osou x

(x – m)² / b² - (y – n)² / a² = 1

Vzájemná poloha přímky a hyperboly

a) tečna

b) sečna

c) nesečna

M - Elipsa přehled

Elipsa

= množina všech bodů v rovině X, pro které platí, že součet vzdáleností bodu X od bodů E, F se rovná danému číslu většímu než vzdálenosti bodů E, F se nazývá elipsa

|XE| + |XF| > |EF| … symbolické vyjádření def. elipsy

E, F jsou ohniska elipsy

konstrukce elipsy:

a) provázková konstrukce

b) bodová konstrukce

c) pomocí hyperoskulačních kružnic

Elipsa se středem v bodě S [0, 0]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na elipse (v prvním kvadrantu)

S [0, 0] … střed elipsy na obrázku nahoře v souřadnicích nula, nula

|XE| + |XF| = k = 2a … vztah popisující elipsu

|AE| + |AF| = 2a … vztah popisující vztahy hlavního vrcholu a ohniska vzhledem k elipse

x² / a² + y² / b² = 1 … rovnice elipsy, když je střed v bodě nula, nula

Význačný trojúhelník

a² = b² + e² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice elipsy

a = |SA| = |FC| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu a vzdálenost ohniska a vedlejšího vrcholu

b = |SC| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |SF| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

Elipsa se středem v bodě S [m, n]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na elipse (v prvním kvadrantu)

S [m, n] … střed elipsy na obrázku nahoře v souřadnicích m, n

|XE| + |XF| = k = 2a … vztah popisující elipsu

|AE| + |AF| = 2a … vztah popisující vztahy hlavního vrcholu a ohniska vzhledem k elipse

… rovnice elipsy, když je střed v bodě m, n

(x – m)² / a² + (y – n)² / b² = 1 … rovnice elipsy, když je střed v bodě m, n

px ² + qy ² + 2rx + 2sy + t = 0 … obecná rovnice elipsy

Význačný trojúhelník

a² = b² + e² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice elipsy

a = |SA| = |FC| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu a vzdálenost ohniska a vedlejšího vrcholu

b = |SC| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |SF| = |SE| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

Ležatá elipsa 

a > b

o (o1) || x … hlavní osa je rovnoběžná s osou x

(x – m)² / a² + (y – n)² / b² = 1

Stojící elipsa

a < b

o (o1) || y … hlavní osa je rovnoběžná s osou y

(x – m)² / b² + (y – n)² / a² = 1

Vzájemná poloha přímky a elipsy

a) tečna

b) sečna

c) nesečna

pozn.: pokud chceme zjistit polohu přímky k elipse, použijeme dosazovací nebo sčítací metodu

M - Elipsa 7, úkol

MA - elipsa, úkol

Příklad

a=4

b=3

S(0;0)

Rovnice hyperboly, narýsovat

x²/16-y²/9=1

109/3,3a

Rovnice elipsy:

S(0;3)

C(3;3)

A(0;-2)

a=5

b=3

x²/9+(y-3)²/25=1

109/3,4c

16x²+25y²-64x+150y-111=0

16x²-64x+64+25y²+150y+225-111=289

16x²-64x+64+25y²+150y+225=400

(4x-8)²+(5y+15)²=400

(4x-8)²/400+(5y+15)²/400=1

4(x-2)²/20²+5(y+3)²/20²=1

(x-2)²/5²+(y+3)²/4²=1

a=5

b=4

e=odm 5²-4²=3

S(2;-3)

hlavní osa||x

A(-3;-3)

B(7;-3)

C(2;-7)

D(2;1)

E(5;-3)

F(-1;-3)

M - Elipsa 6

MA - vzájemná poloha elipsy a přímky - ÚKOL

Př.

4x²+9y²=900… elipsa

x+2y-25=0… přímka

4x²+9y²=900

x=-2y+25

4(-2y+25)²+9y²=900

4(4y²-100y+625)+9y²=900

25y²-400y+1600=0

y²-16y+64=0

D=256-256=0

y=8

x=-2y+25

x=9

Vzájemná poloha – přímka je tečnou elipsy s bodem dotyku Z(9;8). (Bod je v hranatý závorce :)

M - Elipsa 5

M - Elipsa 4

M - Elipsa 3

M - Elipsa 2