M - Hyperbola přehled

Hyperbola

= množina všech bodů v rovině, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou daných různých bodů E a F je rovna kladné konstantě 2a

(= množina všech bodů, pro které ||XE| - |XF|| se rovná danému kladnému číslu, které je menší než |EF| se nazývá hyperbola)

||XE| - |XF|| = 2a… symbolické vyjádření def. hyperboly

E, F jsou ohniska hyperboly

pozn.: přímky, kterým se hyperbola blíží, ale nikdy se jich nedotkne se nazývají asymptoty, ty prochází průniky kolmic vedlejších a hlavních vrcholů

konstrukce hyperboly: bodová konstrukce

Hyperbola se středem v bodě S [0, 0]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na hyperbole (v prvním kvadrantu)

S [0, 0] … střed hyperboly na obrázku nahoře v souřadnicích nula, nula

… rovnice hyperboly, když je střed v bodě nula, nula

x² / a² - y² / b² = 1 … rovnice hyperboly, když je střed v bodě nula, nula

Význačný trojúhelník

e ² = a² + b² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice hyperboly

a = |SA| = |SB| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu

b = |SC| = |SD| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |ES| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

e = |SP| … kdy P je pomocný bod, tvoří průnik kolmic na hlavní a vedlejší vrcholy

Hyperbola se středem v bodě S [m, n]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na hyperbole (v prvním kvadrantu)

S [m, n] … střed hyperboly na obrázku nahoře v souřadnicích m, n

(x – m)² / a² - (y – n)² / b² = 1 … rovnice hyperboly, když je střed v bodě m, n

px ² + qy ² + 2rx + 2sy + t = 0 … obecná rovnice hyperboly

Význačný trojúhelník

e ² = a² + b² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice hyperboly

a = |SA| = |SB| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu

b = |SC| = |SD| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |ES| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

e = |SP| … kdy P je pomocný bod, tvoří průnik kolmic na hlavní a vedlejší vrcholy

Obrácená hyperbola

o (o₁) || y … hlavní osa je rovnoběžná s osou x

(x – m)² / b² - (y – n)² / a² = 1

Vzájemná poloha přímky a hyperboly

a) tečna

b) sečna

c) nesečna

M - Elipsa přehled

Elipsa

= množina všech bodů v rovině X, pro které platí, že součet vzdáleností bodu X od bodů E, F se rovná danému číslu většímu než vzdálenosti bodů E, F se nazývá elipsa

|XE| + |XF| > |EF| … symbolické vyjádření def. elipsy

E, F jsou ohniska elipsy

konstrukce elipsy:

a) provázková konstrukce

b) bodová konstrukce

c) pomocí hyperoskulačních kružnic

Elipsa se středem v bodě S [0, 0]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na elipse (v prvním kvadrantu)

S [0, 0] … střed elipsy na obrázku nahoře v souřadnicích nula, nula

|XE| + |XF| = k = 2a … vztah popisující elipsu

|AE| + |AF| = 2a … vztah popisující vztahy hlavního vrcholu a ohniska vzhledem k elipse

x² / a² + y² / b² = 1 … rovnice elipsy, když je střed v bodě nula, nula

Význačný trojúhelník

a² = b² + e² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice elipsy

a = |SA| = |FC| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu a vzdálenost ohniska a vedlejšího vrcholu

b = |SC| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |SF| = |SF| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

Elipsa se středem v bodě S [m, n]

E, F … ohniska

A, B … hlavní vrcholy = leží na hlavní poloose, kde leží ohniska

C, D … vedlejší vrcholy = leží na vedlejší poloose

x = o … hlavní poloosa

y = o' … vedlejší poloosa

X [x, y] … bod ležící na elipse (v prvním kvadrantu)

S [m, n] … střed elipsy na obrázku nahoře v souřadnicích m, n

|XE| + |XF| = k = 2a … vztah popisující elipsu

|AE| + |AF| = 2a … vztah popisující vztahy hlavního vrcholu a ohniska vzhledem k elipse

… rovnice elipsy, když je střed v bodě m, n

(x – m)² / a² + (y – n)² / b² = 1 … rovnice elipsy, když je střed v bodě m, n

px ² + qy ² + 2rx + 2sy + t = 0 … obecná rovnice elipsy

Význačný trojúhelník

a² = b² + e² … pomocí Pythagorovy věty vypočítáme a² a b² z výše uvedené rovnice elipsy

a = |SA| = |FC| … a je vzdálenost hlavního vrcholu a středu a vzdálenost ohniska a vedlejšího vrcholu

b = |SC| … b je vzdálenost středu a vedlejšího vrcholu

e = |SF| = |SE| … výstřednost = excentricita, vzdálenost středu a ohniska

Ležatá elipsa 

a > b

o (o1) || x … hlavní osa je rovnoběžná s osou x

(x – m)² / a² + (y – n)² / b² = 1

Stojící elipsa

a < b

o (o1) || y … hlavní osa je rovnoběžná s osou y

(x – m)² / b² + (y – n)² / a² = 1

Vzájemná poloha přímky a elipsy

a) tečna

b) sečna

c) nesečna

pozn.: pokud chceme zjistit polohu přímky k elipse, použijeme dosazovací nebo sčítací metodu